ESTADISTICA II

1. Cuál es la probabilidad de hallar al menos 3 bolígrafos con defecto? P(X≥3)
2. c) Y de que haya no más de un defectuoso, cuál es? P(X≤1)= P(X=0) + P(X=1)

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BINOMIAL

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POISON

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N FACTORIAL 

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Variable Aleatoria Discreta PORQUE PUEDE ASUMIR VALORES CONTABLES

 a) La probabilidad de que no haya taxis en la estación es
0.10
0.10 o 10%.
b) La distribución es discreta porque los valores posibles de taxis (0, 1, 2, 3, 4) son discretos y finitos.
c) Se espera encontrar en promedio 2.50 taxis en la estación ese día.

 

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD PARA UNA
VARIABLE ALEATORIO DISCRETA

Una distribución de probabilidades para una
variable aleatoria discreta es un listado
mutuamente excluyente de todos los resultados
numéricos posibles para esa variable aleatoria tal
que una probabilidad específica de ocurrencia se
asocia con cada resultado.

 

El valor esperado de una variable aleatoria discreta es un promedio
ponderado de todos los posibles resultados, donde
las ponderaciones son las probabilidades
asociadas con cada uno de los resultados.
Donde: Xi = i-ésimo resultado de X, la variable
discreta de interés.
P(Xi) = probabilidad de ocurrencia del i-ésimo
resultado de X

La varianza de una variable aleatoria discreta (S²)
se define como el promedio ponderado de los
cuadros de las diferencias entre cada resultado
posible y su media (los pesos son las
probabilidades de los resultados posibles).
Donde: Xi = i-ésimo resultado de X, la variable
discreta de interés.
P(Xi) = probabilidad de ocurrencia del i-ésimo
resultado de X

Distribución Binomial.
Supongamos un experimento aleatorio S y
consideremos asociado con él un suceso A de
probabilidad p y sea A* el suceso contrario, cuya
probabilidad será q=1-p. Para distinguirlos con
mayor facilidad, al suceso A lo llamaremos éxito, y
al suceso A* fracaso.
Repitamos el experimento en las mismas
condiciones n veces y supongamos que:
a) El resultado de cada ensayo es independiente
de los resultados anteriores.
b) La probabilidad de A permanece constante y
no varía de una prueba a otra.
Todo experimento que tenga estas características
diremos que sigue el modelo de la distribución
binomial.
A la variable X que expresa el número de éxitos
obtenidos en las n pruebas del experimento
aleatorio la llamaremos variable aleatoria binomial.
Representaremos por B(n, p) a la variable de la
distribución, siendo n y p los parámetros.
Función de probabilidad de la distribución
Binomial.
La variable aleatoria que expresa el número de
éxitos en n pruebas, es una variable aleatoria
discreta cuyos valores varían de 0, 1, 2, …, n. Y las
probabilidades con que toman dichos valores se
calculan de la siguiente
forma:
Media y varianza de la distribución binomial.
a) Media:
b) Varianza:
En ella hay que observar:
c) Es simétrica si p=q. Si p<q asimetría a la
derecha; si p>q, asimetría a la izquierda. Cuando
n es grande la distribución tiende a ser simétrica
(distribución normal).
d) Los valores de P(X=k) están tabulados para
valores de p comprendidos entre 0 y 0.5. Si p>0.5,
hay que tener en cuenta que B(n, k, p) = B(n, n-k, q).



Distribución de Poisson.
Una variable aleatoria X sigue una distribución de
Poisson si puede tomar valores enteros 0, 1, 2, …,
n, …, con probabilidades:
En esta distribución hay que observar:
a) Depende de un solo parámetro.
b) Su media, varianza son
c) Es una buena aproximación de la binomial
cuando n grande y p pequeño:

En general si n>50 y p<0.1 ó n.p<5 la distribución
de Poisson es una buena aproximación de la
Binomial.
d) La distribución de Poisson presenta una ligera
asimetría hacia la izquierda. Cuando n tiende hacia
infinito tiende a ser simétrica (distribución normal).

 

====

 

Pregunta 1

a) Probabilidad de que no haya taxi en la estación:

La probabilidad de que no haya taxis en la estación es $P(x = 0)$, según la distribución dada:

$P(x = 0) = 0.10$

Entonces, hay un 10% de probabilidad de que no haya ningún taxi en la estación un día no laborable.

b) Tipo de distribución (discreta o continua):

Esta distribución de probabilidad es discreta. Se refiere a una variable discreta porque los valores posibles (0, 1, 2, 3, 4) son contables y finitos, con probabilidades asignadas a cada valor específico.

c) Cantidad esperada de taxis en la estación ese día:

Para calcular el número esperado de taxis ($E[X]$), utilizamos la fórmula:

$E[X] = \sum_{x} x \cdot P(x)$

Donde $x$ es el número de taxis y $P(x)$ es la probabilidad correspondiente según la distribución dada.

Calculando:

$E[X] = 0 \cdot 0.10 + 1 \cdot 0.15 + 2 \cdot 0.20 + 3 \cdot 0.25 + 4 \cdot 0.30$ $E[X] = 0 + 0.15 + 0.40 + 0.75 + 1.20$ $E[X] = 2.50$

Por lo tanto, se espera encontrar en promedio 2.50 taxis en la estación ese día.

Pregunta 2

a) Tipo de distribución (Binomial o de Poisson):

Este problema está relacionado con una distribución binomial. Se cumple con los criterios de una distribución binomial porque:

• Cada pez tiene una probabilidad constante de morir debido a la concentración letal.
• Cada pez se considera un ensayo independiente.
• Estamos interesados en el número de éxitos (peces que mueren), que puede ser 0, 1, 2, 3, 4 o 5.

b) Cantidad esperada de peces que se espera que mueran:

El número esperado de peces que se espera que mueran ($E[X]$) se calcula como:

$E[X] = n \cdot p$

Donde $n = 5$ (número de peces) y $p = 0.2$ (probabilidad de muerte de un pez).

$E[X] = 5 \cdot 0.2 = 1$

Se espera que en promedio 1 pez muera.

c) Probabilidad de que no más de un pez muera:

Para calcular $P(X \leq 1)$, la probabilidad de que no más de un pez muera, sumamos las probabilidades de los eventos $P(X = 0)$ y $P(X = 1)$.

Utilizando la fórmula de la distribución binomial:

$P(X = 0) = \binom{5}{0} \cdot (0.2)^0 \cdot (0.8)^5 = 1 \cdot 1 \cdot (0.8)^5 = 0.32768$

$P(X = 1) = \binom{5}{1} \cdot (0.2)^1 \cdot (0.8)^4 = 5 \cdot 0.2 \cdot (0.8)^4 = 0.4096$

$P(X \leq 1) = 0.32768 + 0.4096 = 0.73728$

Por lo tanto, la probabilidad de que no más de un pez muera es aproximadamente $0.73728$ o 73.728%.

Pregunta 3

a) Probabilidad de que un trozo tenga al menos un nudo:

El número promedio de nudos por trozo es de 2. Si asumimos una distribución de Poisson (caracterizada por eventos que ocurren de forma aleatoria e independiente en un intervalo de tiempo o espacio):

$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$

Donde $X$ sigue una distribución de Poisson con $\lambda = 2$.

$P(X = 0) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^0}{0!} = e^{-2} \approx 0.1353$

$P(X \geq 1) = 1 - 0.1353 = 0.8647$

Por lo tanto, la probabilidad de que un trozo tenga al menos un nudo es aproximadamente $0.8647$ o 86.47%.

b) Relación con el modelo Binomial o de Poisson:

Este enunciado se relaciona con el modelo de distribución de Poisson. La distribución de Poisson describe el número de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio dado, cuando los eventos son raros y ocurren de manera independiente.

c) Parámetro de esta distribución:

El parámetro de la distribución de Poisson es $\lambda$, que representa el número promedio de eventos (nudos en este caso) en el intervalo de interés. En este caso, $\lambda = 2$.

Pregunta 4

a) Características de la Distribución Binomial:

1. Consiste en un número fijo de ensayos (n).
2. Cada ensayo tiene dos resultados posibles (éxito o fracaso).
3. La probabilidad de éxito (p) es constante en cada ensayo.

b) Valor Esperado: El valor esperado (o esperanza matemática) de una variable aleatoria es la suma ponderada de todos los posibles valores que puede tomar, cada uno multiplicado por su probabilidad.

c) Definición de Distribución de Probabilidad: Una distribución de probabilidad describe la forma en que se distribuyen las probabilidades de ocurrencia de los posibles resultados de un fenómeno aleatorio.

 

===

Factorial de n

Desde n hasta 1: n! = n(n-1)(n-2)(n-3)…..1 / n! = n(n-1)(n-2)!

Si n=6….6!= 6*5*4*3*2*1= 720 / 6! = 6*5!

 

 

Binomial

P(x) = nCx*                        nCx =

Una fab de bolígrafos produce con defectos el 10% de su producción total. Se toma para evaluar una muestra de 5 bolígrafos fabricados hoy. Sea X el número de bolígrafos defectuosos (0, 1, 2, 3, 4, 5).

1. Cuál es la probabilidad de que ninguno tenga defectos?

n=5       p= 0.10      q=1-p = 0.90      x=0

5C0=  = 120/1(120) = 120/120 =1

 

P(X=) = 1  = 1(1)(0.5905)= 0.5905

 

1. La probabilidad de que haya 2 bolígrafos con defectos es? 0729
2. Y de que haya no más de un defectuoso, cuál es? P(X≤1)= P(X=0) + P(X=1)
3. Cuál es la probabilidad de hallar al menos 3 bolígrafos con defecto? P(X≥3)
4. Cuantos bolígrafos defectuosos se espera hallar en la muestra: E(x)= np = 5(0.10) = 0.5

 

 

Poisson…

 

La ventanilla de un peaje recibe un promedio de 2 vehículos por minuto

 

1. Cuál es la probabilidad de que en el próximo minuto llegue solo un vehículo?

                                                                                           e=2.71828

  = 2/7.389346158  = 0.2706

 

1. La probabilidad de recibir por lo menos un vehículo el próximo minuto? P(X≥1)= 1- P(X=0) = 0.7294
2. Cuantos vehículos se espera recibir durante ese minuto? E(x) = 2

 

X= 0, 1, 2, 3, 4, 5,…………. P(X)=1